Superfícies de Weingarten no Espaço Hiperbólico

Abstract

Desde o surgimento da definição de superfícies parametrizadas, foi questionado sobre suas propriedades que independem da parametrização. Propriedades essas que caracterizam objetivamente a geometria dessa família facilitando muito a sua compreensão. No século 19, com o aperfeiçoamento da geometria semi-Riemanniana feito por Bernhard Riemann e Carl Friedrich Gauss, foi introduzida na literatura a noção das curvaturas média (H), gaussiana (K) e principais (k₁,...,k_{n-1}) onde n-1 é a dimensão da superfície. Essas noções independem da parametrização e são fundamentais na caracterização de uma superfície. O objetivo desse trabalho é o estudo e a caracterização de superfícies de Weingarten em espaços não triviais como , por exemplo, o espaço hiperbólico H³ , o espaço lorentziano L³ e o hiperboloide I₃ contido no espaço de Lorentz-Minkowski L⁴. Definimos uma superfície de Weingarten (de dimensão 2) como uma superfície dotada de uma relação entre suas curvaturas principais k₁ e k₂ dada por W(k₁,k₂)=0. Notemos que essa família generaliza exemplos clássicos de superfícies já estudadas atualmente, como as superfícies mínimas, onde W(k₁,k₂)=k₁+k₂ . Esse trabalho terá um enfoque especial no caso em que W(k₁,k₂)=k₁²+k₂²+C, onde C é uma constante real. Que é um caso não linear, um pouco distante da literatura atual. O segundo capítulo introduz alguns pré-requisitos de geometria Semi-Riemanniana, que serão admitidos como verdade de modo a dar suporte para todos cálculos realizados nos capítulos seguintes. O terceiro capítulo será uma breve introdução ao caso mais natural possível, onde as superfícies serão imersas no espaço euclidiano R³. O capítulo quatro englobará quase toda a teoria do primeiro capítulo aplicada no espaço hiperbólico, com enfoque nas imersões isométricas de hipersuperfícies e exemplos. O quinto capítulo abrangerá a mesma teoria do primeiro capítulo, agora aplicada no espaço de Lorentz-Minkowiski. Já no sexto capítulo, falaremos de um subconjunto do L⁴ que se relaciona com o H³: O hiperboloide I₃, com muito enfoque, novamente, na teoria de imersões isométricas de hipersuperfícies. Nesse capítulo vamos relacionar os três modelos hiperbólicos de modo a facilitar determinado problema, que talvez possa ser complexo em um determinado modelo mas não em outro. Por fim, vamos estudar o problema de superfícies de Weingarten numa dimensão maior, tratando novamente de um caso bem natural: Superfícies dentro do ℝ⁴.