Russell's Paradox: a historical study about the paradox in Frege's theories

Abstract

For over twenty years, Frege tried to find the foundations of arithmetic through logic, and by doing this, he attempted to establish the truth and certainty of the knowledge. However, when he believed his work was done, Bertrand Russell sent him a letter pointing outa paradox, known as Russell’s paradox. It is often considered that Russell identified the paradox in Frege’s theories. However, as shown in this paper, Russell, Frege and also George Cantor contributed significantly to the identification of the paradox. In 1902, Russell encouraged Frege to reconsider a portion of his work based in a paradox built from Cantor’s theories. Previously, in 1885, Cantor had warned Frege about taking extensions of concepts in the construction of his system. With these considerations, Frege managed to identify the precise law and definitions that allowed the generation of the paradox in his system. The objective of this paper is to present a historical reconstruction of the paradox in Frege’s publications and discuss it consideringthe correspondences exchanged between him and Russell. We shall take special attention to the role played by each of these mathematicians in the identification of the paradox and its developments. We also will show how Frege anticipated the solutions andnew theories that would arise when dealing with logico-mathematical paradoxes, including but not limited to Russell’s paradox.

Por mais de vinte anos,Frege buscou os fundamentos da aritmética através da lógica, de modo a garantir a verdade e a certeza do conhecimento. Entretanto, quando acreditava que sua obra estava quase completa,Bertrand Russell comunicou-o através de uma carta que seu sistema gerava um paradoxo, conhecido atualmente como o paradoxode Russell.Comumente, considera-se que Russell identificou o paradoxo nas teorias de Frege, principalmente devido à carta. Apesar disso, como será apresentado neste artigo, Russell, Frege e até mesmo George Cantor contribuiram de maneira significativa na identificação do paradoxo. Em 1902, Russell encorajou Frege a reconsiderar uma parte de seu trabalho tendo por base um paradoxo construído a partir das teorias de Cantor. Anteriormente, em 1885, Cantor alertou-osobre utilizar extensão de conceitode maneira tão significativana construção de seu sistema. Com essas considerações, Frege identificou a lei e definições exatas que permitiram a geração do paradoxodentro do seu sistema. O objetivo deste trabalho é apresentar uma reconstrução histórica do paradoxonas publicações de Frege e discuti-lo considerando as correspondências trocadas entre ele e Russell. Será discutido também o papel que cada um desses matemáticos desempenhou na identificação do paradoxo e nas tentativas de solucioná-lo. Dessa forma, mostraremos como Frege antecipou soluções e novas teorias que surgiriam para lidar com os paradoxos lógico-matemáticos, incluindo, mas não restrito ao paradoxo de Russell.