Os grupos de tranças do toro e da garrafa de Klein

Abstract

Nesta tese estudamos os grupos de tranças (puras) de superfícies, Bn(M) e Pn(M), onde M é uma superfície compacta, priorizando o estudo dos grupos de tranças do toro, T e da garrafa de Klein, K, para compreender suas semelhanças e diferenças. Obtivemos novas presentações para estes grupos que evidenciam suas similaridades e generalizamos a presentação encontrada para o grupo de tranças puras da garrafa de Klein para uma superfície fechada não orientável de genus g _ 2 qualquer. Além disso, para os grupos de tranças do toro e da garrafa de Klein, calculamos secções algébricas explícitas para a sequência exata curta de Fadell-Neuwirth e conseguimos condições necessárias e suficientes para várias generalizações da sequência exata curta de Fadell-Neuwirth cindir. Estudamos também as séries centrais descendentes e das derivadas de Bn(T) e Bn(K), conseguimos assim responder para quais valores de n tais grupos são residualmente nilpotentes e residualmente solúveis. Em uma tentativa de calcular explicitamente as séries centrais descendentes e das derivadas de Pn(K), damos uma descrição geral destas séries de um produto semi-direto qualquer. Para finalizar, obtemos uma presentação para o fecho normal do grupo de tranças de Artin Bn em Bn(T), o que nos permitiu mostrar que B2(T) é ordenável à direita.