Pseudo-parallel immersions in SnxR and HnxR, and constant anisotropic mean curvature surfaces in R3

Abstract

In this Ph.D. thesis, we investigate two topics in Differential Geometry. The first topic refers to the study of pseudo-parallel submanifolds in the ambient spaces SnxR and HnxR. We complete the partial classification given by F. Lin and B. Yang. As a consequence, we classify minimal and constant mean curvature pseudo-parallel hypersurfaces. We also prove a characterization of pseudo-parallel surfaces in SnxR and HnxR, for n ≥ 4, and the non-existence of pseudo-parallel surfaces with non-vanishing normal curvature, when n=3. The second part of the thesis is devoted to the study of constant anisotropic mean curvature surfaces in R3. We obtain a Bernstein-type Theorem for multigraphs with constant anisotropic mean curvature, an anisotropic version of a theorem proved by D. Hoffman, R. Osserman and R. Schoen, in 1982. As a consequence, we prove that complete surfaces with non-zero constant anisotropic mean curvature and whose Gaussian curvature does not change sign are either the Wulff shape or cylinders. We prove uniform height estimates for vertical graphs with non-zero constant anisotropic mean curvature and planar boundary, a generalization of the theorem proved by W. Meeks, in 1988, and we obtain uniform height estimates for compact embedded surfaces with non-zero constant anisotropic mean curvature and planar boundary, as a corollary. We also prove, under certain symmetry hypothesis on the anisotropy function, the non-existence of properly embedded surfaces in R3 with non-zero constant anisotropic mean curvature and with just one end.

En esta tesis doctoral, investigamos dos tópicos en Geometría Diferencial. El primer tópico se refiere al estudio de subvariedades pseudo-paralelas en los espacios producto SnxR y HnxR. Completamos la clasificación parcial dada por F. Lin y B. Yang. Como consecuencia, clasificamos las hipersuperficies pseudo-paralelas minimales y con curvatura media constante. También probamos una caracterización de las superficies pseudo-paralelas en SnxR y HnxR, cuando n ≥ 4, y la no existencia de superficies pseudo-paralelas con curvatura normal que no se anula, cuando n=3. La segunda parte de la tesis está dedicada al estudio de las superficies de curvatura media anisotrópica constante en R3 . Obtenemos un Teorema tipo-Bernstein para multigrafos con curvatura media anisotrópica constante, una versión anisotrópica de un teorema probado por D. Hoffman, R. Osserman y R. Schoen, en 1982. Como consecuencia, demostramos que las superficies completas con curvatura media anisotrópica constante no nula y cuya curvatura gaussiana no cambia de signo son o bien la forma de Wulff o bien cilindros. Probamos acotaciones uniformes de altura para grafos verticales con curvatura media anisotrópica constante no nula y borde plano, una generalización del teorema probado por W. Meeks, en 1988, y obtenemos acotaciones uniformes de altura para superficies compactas embebidas con curvatura media anisotrópica constante no nula y borde plano, como un corolario. También demostramos, bajo ciertas hipótesis de simetría en la función de anisotropía, que no hay superficies propiamente embebidas en R3 con curvatura media anisotrópica constante no nula y con solo un final.